一道引子:我们先求一下这道极限：
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum^{n^2}_{k=1}\frac{n}{n^2+k^2}$$利用定积分：
$$=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum^{n^2}_{k=1}\frac{1}{1+(\frac{k}{n})^2}$$$$=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum^{n^2}_{k=1}\frac{1}{1+(\frac{k}{n})^2}$$$$利用\int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}dx=\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}dx=\frac{1}{n}并对x进行两端放缩$$$$\sum^{n^2}_{k=1}\int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}\frac{dx}{1+x^2}<\sum^{n^2}_{k=1}\int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}\frac{dx}{1+(\frac{k}{n})^2}=\sum^{n^2}_{k=1}\frac{\frac{1}{n}}{1+(\frac{k}{n})^2}=\sum^{n^2}_{k=1}\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}\frac{dx}{1+(\frac{k}{n})^2}<\sum^{n^2}_{k=1}\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}\frac{dx}{1+x^2}$$运用夹逼准则,于是有:
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum^{n^2}_{k=1}\frac{n}{n^2+k^2}=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^n\frac{1}{1+x^2}dx$$$$=\arctan x|_0^{+\infty}=\frac{\pi}{2}$$原题中困扰我们的主要是分母，所以我们要对分母进行估阶，并猜测它与n有关系。
$$事实上,我们有\sum_{j=1}^nj^{\frac{1}{j^k}}=n+o(n)\qquad\quad k=1,2,3\cdots$$要证明这一点，我们进行放缩：
$$n<1+2^{\frac{1}{2^k}}+\cdots+n^{\frac{1}{n^k}}<1+2^{\frac{1}{2}}+\cdots+n^{\frac{1}{n}}$$$$又\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1+2^{\frac{1}{2}}+\cdots+n^{\frac{1}{n}}}{n}$$$$=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n+1]{n+1}=1$$于是，我们回到原题：
$$\sum^{n^2}_{k=1}\frac{n}{n^2+k^2}<\sum_{k=1}^{n^2}\frac{1+2^{\frac{1}{2^k}}+\cdots+n^{\frac{1}{n^k}}}{n^2+k^2}<\sum^{n^2}_{k=1}\frac{1+2^{\frac{1}{2}}+\cdots+n^{\frac{1}{n}}}{n^2+k^2}$$$$\sum^{n^2}_{k=1}\frac{1+2^{\frac{1}{2}}+\cdots+n^{\frac{1}{n}}}{n^2+k^2}=\frac{1+2^{\frac{1}{2}}+\cdots+n^{\frac{1}{n}}}{n}\cdot\sum^{n^2}_{k=1}\frac{n}{n^2+k^2}$$由夹逼准则得到答案为 $\frac{\pi}{2}$