欧拉麦克劳林公式（E-M公式）“建立起积分与和式的桥梁”
（0阶欧拉麦克劳林公式）
$$\sum_{a}^{b}f(k)=\int_a^bf(x)dx+\frac{f(a)+f(b)}{2}+\int_a^b(x-[x]-\frac{1}{2})f'(x)dx$$证明： 利用$x-\frac{1}{2}$在实数范围内周期为一的延拓函数
$$\int_a^b(x-[x]-\frac{1}{2})f'(x)dx=\sum_{k=a}^{b-1}\int_k^{k+1}(x-[x]-\frac{1}{2})f'(x)dx$$做变量代换
$$=\sum_{k=a}^{b-1}\int_0^{1}(x-\frac{1}{2})f'(x+k)d(x+k)$$$$=\sum_{k=a}^{b-1}\int_0^{1}(x-\frac{1}{2})df(x+k)$$$$=\sum_{k=a}^{b-1}((x-\frac{1}{2})f(x+k)|_0^1-\int_0^1f(x+k)dx)$$$$=\sum_{k=a}^{b-1}\frac{f(k)+f(k+1)}{2}-\int_a^bf(x)dx$$$$=\sum_{a}^{b}f(k)+\frac{f(a)+f(b)}{2}-\int_a^bf(x)dx$$QED