若f(x)连续，g(x)为周期为T的连续函数，则：
$$ \lim_{n\rightarrow+\infty}\int_Ef(x)g(nx)dx=\int_Ef(x)dx\cdot\int_0^Tg(x)dx $$证明： 关键步，化简计算
$$*不妨设\int_0^Tg(x)dx=0 $$$$即证\lim_{n\rightarrow+\infty}\int_Ef(x)g(nx)dx=0$$划分区间$[a,b]$ 为$\lambda$份，且当$n\rightarrow\infty时\lambda\rightarrow\infty$ 得
$$\int_a^bf(x)g(nx)dx=\sum_{i=1}^{\lambda} \int^{x_i}_{x_{i-1}} f(x)g(nx)dx $$使用加一下减一下的技巧
$$ = \sum_{i=1}^\lambda\int^{x_i}_{x_{i-1}} (f(x)-f(x_i)g(nx)dx+\sum_{i=1}^\lambda f(x_i)\int^{x_i}_{x_{i-1}} g(nx)dx 三角不等式 $$$$ |\int_a^bf(x)g(nx)dx|\leq\int_a^b|f(x)g(nx)|dx $$$$\leq \sum_{i=1}^\lambda\int^{x_i}_{x_{i-1}} |(f(x)-f(x_i)||g(nx)|dx+\sum_{i=1}^\lambda |f(x_i)|\int^{x_i}_{x_{i-1}} |g(nx)|dx$$分段估计，利用有界性 1.第一部分
$$ \sum_{i=1}^\lambda\int^{x_i}_{x_{i-1}} |(f(x)-f(x_i)||g(nx)|dx $$$$\leq\sum_{i=1}^\lambda\int^{x_i}_{x_{i-1}} (\sup_{x_1,x_2\in E}|(f(x_1)-f(x_2)|)\cdot(\sup|g(x)|)dx$$$$=(\sup|g|)\sum_{i=1}^\lambda\omega_i\Delta_i$$由黎曼积分存在的充要条件得
$$(\sup|g|)\lim_{\lambda\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^\lambda\omega_i\Delta_i=0$$2.第二部分
$$\sum_{i=1}^\lambda |f(x_i)|\int^{x_i}_{x_{i-1}} |g(nx)|dx$$$$\leq(\sup|f|)\sum_{i=1}^\lambda\frac{|G(nx_i)-G(nx_{i-1})|}{n}$$$$\leq(\sup|f|\cdot2\sup|G|)\frac{\lambda}{n}$$$$要使n\rightarrow+\infty时，(\sup|f|\cdot2\sup|G|)\frac{\lambda}{n}\rightarrow0只需取\lambda=\sqrt n.$$综上：
$$\int_a^bf(x)g(nx)dx=\sum_{i=1}^{\lambda} \int^{x_i}_{x_{i-1}} f(x)g(nx)dx=0$$注： * 处：若$\int_0^Tg(x)dx\neq 0$ ，则取$g’(x)=g(x)-\frac{x}{T}\int_0^Tg(x)dx$ 利用上述情况即得。
QED