含周期函数，考虑离散化$x=n\pi\rightarrow\infty$ 使用stolz定理。
$$ 原式=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\int_0^{n\pi}\frac{|sinx|}{x}dx}{\ln n\pi}\\ $$$$ =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\int^{(n+1)\pi}_{n\pi}\frac{|sinx|}{x}dx}{\ln(1+\frac{1}{n})} $$等价无穷小替换
$$ =\lim_{n\rightarrow\infty}n\int^{(n+1)\pi}_{n\pi}\frac{|sinx|}{x}dx $$$\frac{|sinx|}{x}$的原函数不易得，而 $|\sin x|$ 的原函数易得。考虑放缩：
$$ n\pi< x <(n+1)\pi $$$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{(n+1)\pi}\int^{(n+1)\pi}_{n\pi}|sinx|dx <=\lim_{n\rightarrow\infty}n\int^{(n+1)\pi}_{n\pi}\frac{|sinx|}{x}dx<\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n\pi}\int^{(n+1)\pi}_{n\pi}|sinx|dx $$由迫敛性得极限值为 $\frac{2}{\pi}$ .