注:下文$\sum$均表示无穷级数
$$1.\sum\frac{1}{2^n(1+\sqrt[2n]2)}$$$$改写形式，由平方差公式启发，强行裂项$$
$$2.\sum\frac{1}{k(k+1)(k+1)!}$$$$先部分裂项，再强行裂项，最后进行尾巴的估计$$
$$3.\sum(-1)^{n-1}\frac{\ln n}{n}$$$$化为部分和的偶数项，再减去二倍的奇项或偶项，最后估阶$$
$$4.\sum\frac{80}{(3k+4)(3k+5)(3k+6)(3k+7)(3k+8)}$$$$化为阶乘式，利用Beta函数，交换积分与求和$$
$$5.\sum\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{n}}{(n+1)(n+2)}$$$$先部分裂项，再强行裂项，最后估阶$$
$$6.\prod\frac{n^3-1}{n^3+1}$$$$先消明显部分，要注意到(n^2+n+1)和(n^2-n+1)会构成邻项$$
$$7.\sum\frac{1}{n!(n^4+n^2+1)}$$$$重点在因式分解，再强行裂项$$
$$8.\sum\arctan\frac{1}{2n^2}$$$$利用反三角函数相减的公式，凑出xy，同时必须能相消。猜测n，n-1，n+1构成的分式$$