1.解：由stolz：
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^n\ln C_n^k}{n^2}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n+1}\ln C_{n+1}^k-\sum_{k=1}^n\ln C_n^k}{2n+1}$$$$又\frac{C_{n+1}^k}{C_{n}^k}=\frac{\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}}{\frac{n!}{k!(n-k)!}}$$$$=\frac{n+1}{n+1-k}$$代入原式得：
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^n\ln C_n^k}{n^2}=\lim_{n\rightarrow\infty}-\frac{\sum_{k=1}^n\ln(\frac{n+1-k}{n+1})}{2n+1}$$注意到遍历n+1-k结构，利用倒序求和等同于遍历k
$$=\lim_{n\rightarrow\infty}-\frac{\sum^n_{k=1}\ln k-n\ln(n+1)}{2n+1}$$对$\sum lnk$估阶：
$$=\lim_{n\rightarrow\infty}-\frac{n\ln n-n+o(n)-n\ln(n+1)}{2n+1}=\frac{1}{2}$$2.解：由根式判别法知该级数收敛 利用倒序求和，遍历k等同于遍历（n-k）:
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}(\frac{k}{n})^n=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}(\frac{n-k}{n})^n$$$$=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}(1-\frac{k}{n})^n$$由勒贝格控制收敛定理：
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}(1-\frac{k}{n})^n=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}e^{-k}=\frac{1}{1-\frac{1}{e}}=\frac{e}{e-1}$$勒贝格控制收敛定理可以由放缩和子极限技巧替代 放大：
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}(1-\frac{k}{n})^n<\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}e^{-k}$$放小($*$):m为固定的数：
$$\forall m < n,\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}(1-\frac{k}{n})^n > \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{m}(1-\frac{k}{n})^n=\sum_{k=1}^{m}e^{-k}$$由m的任意性，可取$m=[\sqrt n]\rightarrow\infty$ ,可知收敛于该极限。
QED